MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoame
Fie determinantul D(x)=∣x121x323x∣D(x) = \begin{vmatrix} x & 1 & 2 \\ 1 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{vmatrix}. a) Calculați D(x)D(x). b) Determinați valorile reale ale lui xx pentru care D(x)=0D(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează D(x)D(x) folosind regula lui Sarrus: D(x)=x⋅x⋅x+1⋅3⋅2+2⋅1⋅3−2⋅x⋅2−3⋅3⋅x−x⋅1⋅1=x3+6+6−4x−9x−x=x3−14x+12D(x) = x \cdot x \cdot x + 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 - 2 \cdot x \cdot 2 - 3 \cdot 3 \cdot x - x \cdot 1 \cdot 1 = x^3 + 6 + 6 - 4x - 9x - x = x^3 - 14x + 12.
23 puncte
Se rezolvă ecuația D(x)=0D(x) = 0, adică x3−14x+12=0x^3 - 14x + 12 = 0. Observând că x=2x=2 este rădăcină: 23−14⋅2+12=8−28+12=02^3 - 14 \cdot 2 + 12 = 8 - 28 + 12 = 0.
33 puncte
Se efectuează împărțirea polinomului x3−14x+12x^3 - 14x + 12 la x−2x-2, obținând x2+2x−6x^2 + 2x - 6. Ecuația devine (x−2)(x2+2x−6)=0(x-2)(x^2 + 2x - 6) = 0. Se rezolvă x2+2x−6=0x^2 + 2x - 6 = 0 cu discriminantul Δ=4+24=28\Delta = 4 + 24 = 28, deci x=−2±282=−1±7x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}. Soluțiile sunt x=2x = 2, x=−1+7x = -1 + \sqrt{7}, x=−1−7x = -1 - \sqrt{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.