MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a121b323c)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & b & 3 \\ 2 & 3 & c \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Calculați determinantul lui AA și determinați valorile lui a,b,ca, b, c pentru care AA este inversabilă. Apoi, rezolvați sistemul liniar A⋅(xyz)=(10−1)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=a∣b33c∣−1∣132c∣+2∣1b23∣=a(bc−9)−(c−6)+2(3−2b)=abc−9a−c+6+6−4b=abc−9a−4b−c+12.\det(A) = a \begin{vmatrix} b & 3 \\ 3 & c \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & c \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & b \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = a(bc - 9) - (c - 6) + 2(3 - 2b) = abc - 9a - c + 6 + 6 - 4b = abc - 9a - 4b - c + 12.
22 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci pentru orice a,b,ca, b, c astfel încât abc−9a−4b−c+12≠0.abc - 9a - 4b - c + 12 \neq 0.
35 puncte
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, det⁡(A)=1⋅2⋅3−9⋅1−4⋅2−3+12=6−9−8−3+12=−2≠0\det(A) = 1 \cdot 2 \cdot 3 - 9 \cdot 1 - 4 \cdot 2 - 3 + 12 = 6 - 9 - 8 - 3 + 12 = -2 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Rezolvăm sistemul: {x+y+2z=1x+2y+3z=02x+3y+3z=−1\begin{cases} x + y + 2z = 1 \\ x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + 3y + 3z = -1 \end{cases}. Scădem prima ecuație din a doua: y+z=−1y + z = -1. Din a treia, 2x+3y+3z=−12x+3y+3z=-1. Folosind y+z=−1y+z=-1, obținem 2x+3(y+z)=2x−3=−12x+3(y+z)=2x-3=-1, deci 2x=22x=2, x=1x=1. Atunci din x+y+2z=1x+y+2z=1, 1+y+2z=11+y+2z=1, deci y+2z=0y+2z=0. Cu y+z=−1y+z=-1, scăzând, z=1z=1, apoi y=−2y=-2. Soluția: (1,−2,1)(1, -2, 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.