MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameIdentități algebrice
Se consideră matricea M=(111abca2b2c2)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale distincte. a) Calculați determinantul det⁡(M)\det(M). b) Arătați că det⁡(M)=(b−a)(c−a)(c−b)\det(M) = (b-a)(c-a)(c-b). c) Dacă a,b,ca, b, c sunt rădăcinile polinomului P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6, determinați valoarea lui det⁡(M)\det(M).

Rezolvare completă

11 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculul determinantului det⁡(M)\det(M) folosind proprietăți ale determinanților Vandermonde: det⁡(M)=∣111abca2b2c2∣\det(M) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}.
23 puncte
Demonstrarea formulei det⁡(M)=(b−a)(c−a)(c−b)\det(M) = (b-a)(c-a)(c-b) prin scăderea liniilor sau utilizarea factorizării.
32 puncte
Aplicarea relațiilor lui Viète pentru polinomul P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6: a+b+c=6a+b+c=6, ab+bc+ca=11ab+bc+ca=11, abc=6abc=6.
42 puncte
Calculul diferențelor b−ab-a, c−ac-a, c−bc-b folosind identități algebrice sau observarea că det⁡(M)=(a−b)(b−c)(c−a)\det(M) = (a-b)(b-c)(c-a) și determinarea semnului.
51 punct
Concluzia: det⁡(M)=(6−2a)(6−2b)(6−2c)/8\det(M) = (6-2a)(6-2b)(6-2c)/8 sau direct din proprietăți, rezultând det⁡(M)=−6\det(M) = -6 după calcule.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.