MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul liniar: {kx+y+z=1x+ky+z=kx+y+kz=k2\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases} cu k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru aceste valori, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați determinantul coeficienților: D=∣k111k111k∣D = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}. Folosind proprietăți, adunăm toate coloanele la prima: D=(k+2)∣1111k111k∣D = (k+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}, apoi scădem prima linie din celelalte: D=(k+2)∣1110k−1000k−1∣=(k+2)(k−1)2D = (k+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & k-1 & 0 \\ 0 & 0 & k-1 \end{vmatrix} = (k+2)(k-1)^2.
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0, adică (k+2)(k−1)2≠0(k+2)(k-1)^2 \neq 0, deci k≠−2k \neq -2 și k≠1k \neq 1.
34 puncte
Pentru k≠−2,1k \neq -2, 1, aplicăm regula lui Cramer. Calculați Dx,Dy,DzD_x, D_y, D_z: Dx=∣111kk1k21k∣D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ k & k & 1 \\ k^2 & 1 & k \end{vmatrix}, simplificând similar, obținem Dx=(1−k)(k−1)2D_x = (1-k)(k-1)^2; Dy=∣k111k11k2k∣D_y = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & k^2 & k \end{vmatrix}, calculând, Dy=(k−1)2(k+1)D_y = (k-1)^2(k+1); Dz=∣k111kk11k2∣D_z = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & k \\ 1 & 1 & k^2 \end{vmatrix}, calculând, Dz=(k−1)2D_z = (k-1)^2. Atunci x=DxD=(1−k)(k−1)2(k+2)(k−1)2=1−kk+2x = \frac{D_x}{D} = \frac{(1-k)(k-1)^2}{(k+2)(k-1)^2} = \frac{1-k}{k+2}, y=DyD=k+1k+2y = \frac{D_y}{D} = \frac{k+1}{k+2}, z=DzD=1k+2z = \frac{D_z}{D} = \frac{1}{k+2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.