MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie determinantul D=∣abcbcacab∣D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale. Arătați că D=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)D = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2). Utilizați acest rezultat pentru a discuta natura soluțiilor sistemului de ecuații liniare {ax+by+cz=1bx+cy+az=1cx+ay+bz=1\begin{cases} ax + by + cz = 1 \\ bx + cy + az = 1 \\ cx + ay + bz = 1 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul DD prin dezvoltare sau aplicarea proprietăților (de exemplu, adunarea tuturor liniilor la prima linie).
23 puncte
Factorizați expresia obținută pentru a demonstra egalitatea D=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)D = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2).
33 puncte
Analizați sistemul: dacă D≠0D \neq 0, sistemul are soluție unică conform regulii lui Cramer; dacă D=0D = 0, studiați compatibilitatea prin calculul determinantului matricei extinse și discutați cazurile posibile (sistem incompatibil sau cu infinitate de soluții).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.