MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Calculați determinantul matricei A=(a111b111c)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix} și determinați toate tripletele de numere reale (a,b,c)(a, b, c) pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0 și a+b+c=3a+b+c=3. Discutați dacă există soluții cu a,b,ca, b, c distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Calculați determinantul: det⁡(A)=a(bc−1)−1(c−1)+1(1−b)=abc−a−c+1+1−b=abc−a−b−c+2\det(A) = a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = abc - a - c + 1 + 1 - b = abc - a - b - c + 2.
23 puncte
Scrieți ecuația det⁡(A)=0\det(A)=0: abc−a−b−c+2=0abc - a - b - c + 2 = 0.
32 puncte
Înlocuiți a+b+c=3a+b+c=3 în ecuație: abc−3+2=0⇒abc=1abc - 3 + 2 = 0 \Rightarrow abc = 1.
41 punct
Sistemul este {a+b+c=3abc=1\begin{cases} a+b+c=3 \\ abc=1 \end{cases}; discutați soluțiile, de exemplu, folosind inecuații sau prin încercări simple (e.g., a=b=c=1a=b=c=1 dă det⁡(A)=0\det(A)=0, dar nu sunt distincte; alte soluții pot fi găsite ca rădăcini ale ecuațiilor cubice).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.