MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniarePolinoame
Fie determinantul D(x)=∣x+1212x+3311x+2∣D(x)=\begin{vmatrix}x+1 & 2 & 1 \\ 2 & x+3 & 3 \\ 1 & 1 & x+2\end{vmatrix}, unde x∈Rx\in\mathbb{R}. a) Calculați D(x)D(x) în funcție de xx. b) Determinați valorile reale ale lui xx pentru care sistemul liniar {(x+1)a+2b+c=02a+(x+3)b+3c=0a+b+(x+2)c=0\begin{cases} (x+1)a+2b+c=0 \\ 2a+(x+3)b+3c=0 \\ a+b+(x+2)c=0 \end{cases} are soluție unică. c) Pentru x=1x=1, rezolvați sistemul omogen din punctul b) și găsiți toate soluțiile (a,b,c)∈R3(a,b,c)\in\mathbb{R}^3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm D(x)D(x) dezvoltând sau folosind regula Sarrus. \ D(x)=(x+1)∣x+331x+2∣−2∣231x+2∣+1∣2x+311∣D(x)=(x+1)\begin{vmatrix}x+3 & 3 \\ 1 & x+2\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & x+2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}2 & x+3 \\ 1 & 1\end{vmatrix} \ =(x+1)[(x+3)(x+2)−3]−2[2(x+2)−3]+1[2⋅1−1⋅(x+3)]=(x+1)[(x+3)(x+2)-3]-2[2(x+2)-3]+1[2\cdot1-1\cdot(x+3)] \ =(x+1)(x2+5x+6−3)−2(2x+4−3)+(2−x−3)=(x+1)(x^2+5x+6-3)-2(2x+4-3)+(2-x-3) \ =(x+1)(x2+5x+3)−2(2x+1)+(−x−1)=x3+5x2+3x+x2+5x+3−4x−2−x−1=(x+1)(x^2+5x+3)-2(2x+1)+(-x-1)=x^3+5x^2+3x+x^2+5x+3-4x-2-x-1 \ =x3+6x2+3x=x^3+6x^2+3x. \
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă determinantul matricei coeficienților este nenul. În cazul nostru, D(x)≠0D(x)\neq0. \ x3+6x2+3x≠0⇒x(x2+6x+3)≠0⇒x≠0x^3+6x^2+3x\neq0\Rightarrow x(x^2+6x+3)\neq0\Rightarrow x\neq0 și x2+6x+3≠0x^2+6x+3\neq0. \ Discriminantul ecuației x2+6x+3=0x^2+6x+3=0 este Δ=36−12=24\Delta=36-12=24, deci rădăcinile x1,2=−3±6x_{1,2}=-3\pm\sqrt{6}. \ Astfel, x∈R∖{0,−3−6,−3+6}x\in\mathbb{R}\setminus\{0, -3-\sqrt{6}, -3+\sqrt{6}\}. \
33 puncte
Pentru x=1x=1, determinantul devine D(1)=13+6⋅12+3⋅1=10≠0D(1)=1^3+6\cdot1^2+3\cdot1=10\neq0, deci sistemul are doar soluția banală. \ În acest caz, singura soluție a sistemului omogen este (a,b,c)=(0,0,0)(a,b,c)=(0,0,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.