MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {(m+1)x+y−z=2x+(m−1)y+z=32x−y+mz=1\begin{cases} (m+1)x + y - z = 2 \\ x + (m-1)y + z = 3 \\ 2x - y + mz = 1 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru m=2m=2, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer. c) Pentru m=1m=1, determinați dacă sistemul este compatibil și, în caz afirmativ, găsiți soluțiile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm determinantul sistemului: Δ=∣m+11−11m−112−1m∣\Delta = \begin{vmatrix} m+1 & 1 & -1 \\ 1 & m-1 & 1 \\ 2 & -1 & m \end{vmatrix}. Dezvoltăm după prima linie: Δ=(m+1)∣m−11−1m∣−1⋅∣112m∣+(−1)⋅∣1m−12−1∣=(m+1)(m2−m+1)−(m−2)−(−1−2m+2)=(m+1)(m2−m+1)+m+1=(m+1)(m2−m+2)\Delta = (m+1) \begin{vmatrix} m-1 & 1 \\ -1 & m \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & m \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (m+1)(m^2 - m + 1) - (m-2) - (-1 - 2m + 2) = (m+1)(m^2 - m + 1) + m + 1 = (m+1)(m^2 - m + 2).
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică (m+1)(m2−m+2)≠0(m+1)(m^2 - m + 2) \neq 0. Deoarece m2−m+2>0m^2 - m + 2 > 0 pentru orice mm real (discriminant negativ), rezultă că Δ≠0\Delta \neq 0 dacă m≠−1m \neq -1. Deci pentru m≠−1m \neq -1, sistemul are soluție unică.
32 puncte
Pentru m=2m=2, calculăm: Δ=(2+1)(4−2+2)=12\Delta = (2+1)(4-2+2)=12. Δx=∣21−13111−12∣=5\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 5, Δy=∣32−1131212∣=20\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 20, Δz=∣3121132−11∣=11\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 11. Atunci x=Δx/Δ=5/12x = \Delta_x / \Delta = 5/12, y=Δy/Δ=5/3y = \Delta_y / \Delta = 5/3, z=Δz/Δ=11/12z = \Delta_z / \Delta = 11/12.
43 puncte
Pentru m=1m=1, sistemul devine: {2x+y−z=2x+z=32x−y+z=1\begin{cases} 2x + y - z = 2 \\ x + z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}. Matricea sistemului are determinantul ∣21−11012−11∣=4≠0\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 4 \neq 0, deci rangul este 3, iar matricea extinsă are același rang, deci sistemul este compatibil determinat. Rezolvăm: din a doua ecuație, z=3−xz = 3 - x. Înlocuind în prima și a treia, obținem x=3/4x = 3/4, y=11/4y = 11/4, z=9/4z = 9/4. Soluția este (3/4,11/4,9/4)(3/4, 11/4, 9/4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.