MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare {(a+1)x+y+z=1x+(a+1)y+z=ax+y+(a+1)z=a2\begin{cases} (a+1)x + y + z = 1 \\ x + (a+1)y + z = a \\ x + y + (a+1)z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Studiați compatibilitatea sistemului folosind determinanții lui Cramer, determinând valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, infinitate de soluții sau nicio soluție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți matricea coeficienților A=(a+1111a+1111a+1)A = \begin{pmatrix} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{pmatrix} și calculați det⁡(A)=(a+1)[(a+1)2−1]−1[1⋅(a+1)−1⋅1]+1[1⋅1−(a+1)⋅1]=(a+1)(a2+2a)−(a+1−1)+(1−a−1)=(a+1)a(a+2)−a−a=a(a+1)(a+2)−2a=a[(a+1)(a+2)−2]=a(a2+3a+2−2)=a(a2+3a)=a2(a+3)\det(A) = (a+1)[(a+1)^2 - 1] - 1[1 \cdot (a+1) - 1 \cdot 1] + 1[1 \cdot 1 - (a+1) \cdot 1] = (a+1)(a^2 + 2a) - (a+1 - 1) + (1 - a - 1) = (a+1)a(a+2) - a - a = a(a+1)(a+2) - 2a = a[(a+1)(a+2) - 2] = a(a^2 + 3a + 2 - 2) = a(a^2 + 3a) = a^2(a+3).
24 puncte
Discutați cazurile: Dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică a≠0a \neq 0 și a≠−3a \neq -3, sistemul are soluție unică dată de formulele lui Cramer. Dacă det⁡(A)=0\det(A) = 0, adică a=0a = 0 sau a=−3a = -3, calculați determinanții pentru necunoscute și termenii liberi pentru a verifica compatibilitatea.
33 puncte
Pentru a=0a = 0, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=0x+y+z=0\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}, care este incompatibil. Pentru a=−3a = -3, sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=−3x+y−2z=9\begin{cases} -2x + y + z = 1 \\ x - 2y + z = -3 \\ x + y - 2z = 9 \end{cases}; calculați determinanții și arătați că sistemul este compatibil nedeterminat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.