MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=13x−y+2z=42x+y+kz=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 4 \\ 2x + y + kz = 3 \end{cases}, unde kk este un parametru real. Determinați kk astfel încât sistemul să aibă soluție unică și apoi rezolvați-l folosind regula lui Cramer pentru k=0k = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm determinantul matricei coeficienților: D=∣12−13−1221k∣=1⋅∣−121k∣−2⋅∣322k∣+(−1)⋅∣3−121∣=1⋅(−k−2)−2⋅(3k−4)−1⋅(3−(−2))=(−k−2)−2(3k−4)−5=−k−2−6k+8−5=−7k+1D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & k \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & k \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-k - 2) - 2 \cdot (3k - 4) - 1 \cdot (3 - (-2)) = (-k - 2) - 2(3k - 4) - 5 = -k - 2 - 6k + 8 - 5 = -7k + 1.
23 puncte
Condiția pentru soluție unică este D≠0D \neq 0, deci −7k+1≠0⇒k≠17-7k + 1 \neq 0 \Rightarrow k \neq \frac{1}{7}. Pentru k=0k = 0 (alegere validă, deoarece 0≠170 \neq \frac{1}{7}), avem D=−7⋅0+1=1D = -7 \cdot 0 + 1 = 1.
33 puncte
Pentru k=0k = 0, calculăm determinanții pentru xx, yy, zz: Dx=∣12−14−12310∣=1⋅∣−1210∣−2⋅∣4230∣+(−1)⋅∣4−131∣=1⋅(0−2)−2⋅(0−6)−1⋅(4−(−3))=(−2)−2(−6)−7=−2+12−7=3D_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 2) - 2 \cdot (0 - 6) - 1 \cdot (4 - (-3)) = (-2) - 2(-6) - 7 = -2 + 12 - 7 = 3, Dy=∣11−1342230∣=1⋅∣4230∣−1⋅∣3220∣+(−1)⋅∣3423∣=1⋅(0−6)−1⋅(0−4)−1⋅(9−8)=(−6)−(−4)−1=−6+4−1=−3D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 6) - 1 \cdot (0 - 4) - 1 \cdot (9 - 8) = (-6) - (-4) - 1 = -6 + 4 - 1 = -3, Dz=∣1213−14213∣=1⋅∣−1413∣−2⋅∣3423∣+1⋅∣3−121∣=1⋅(−3−4)−2⋅(9−8)+1⋅(3−(−2))=(−7)−2⋅1+5=−7−2+5=−4D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3 - 4) - 2 \cdot (9 - 8) + 1 \cdot (3 - (-2)) = (-7) - 2 \cdot 1 + 5 = -7 - 2 + 5 = -4.
42 puncte
Soluțiile sistemului pentru k=0k = 0 sunt: x=DxD=31=3x = \frac{D_x}{D} = \frac{3}{1} = 3, y=DyD=−31=−3y = \frac{D_y}{D} = \frac{-3}{1} = -3, z=DzD=−41=−4z = \frac{D_z}{D} = \frac{-4}{1} = -4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.