MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameProgresii Geometrice
Se consideră determinantul D=∣111xyzx2y2z2∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}. Demonstrați că D=(y−x)(z−x)(z−y)D = (y-x)(z-x)(z-y). Folosind acest rezultat, determinați valorile reale ale lui mm pentru care polinomul P(X)=X3−mX2+5X−3P(X) = X^3 - mX^2 + 5X - 3 are rădăcinile în progresie geometrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează că D=(y−x)(z−x)(z−y)D = (y-x)(z-x)(z-y) prin scăderea liniei 1 din liniile 2 și 3, obținând ∣111x−yy−xz−xx2−y2y2−x2z2−x2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x-y & y-x & z-x \\ x^2-y^2 & y^2-x^2 & z^2-x^2 \end{vmatrix}, apoi se factorizează și se descompune pentru a ajunge la forma cerută.
23 puncte
Pentru un polinom de gradul 3 P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c, dacă rădăcinile r1,r2,r3r_1, r_2, r_3 sunt în progresie geometrică, atunci ele pot fi notate a,ar,ar2a, ar, ar^2 cu rația rr, și se aplică relațiile Vietè: r1+r2+r3=−ar_1 + r_2 + r_3 = -a, r1r2+r2r3+r3r1=br_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = b, r1r2r3=−cr_1r_2r_3 = -c.
34 puncte
Aplicând la P(X)=X3−mX2+5X−3P(X) = X^3 - mX^2 + 5X - 3, se notează rădăcinile a,ar,ar2a, ar, ar^2. Atunci a(1+r+r2)=ma(1+r+r^2) = m, a2r(1+r+r2)=5a^2 r(1+r+r^2) = 5, și a3r3=3a^3 r^3 = 3. Se rezolvă acest sistem: din ultima ecuație, ar=33a r = \sqrt[3]{3}; se substituie în celelalte pentru a exprima mm în funcție de rr și a găsi valorile reale ale lui mm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.