MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=∣x121x323x∣P(x) = \begin{vmatrix} x & 1 & 2 \\ 1 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{vmatrix}. Calculați P(x)P(x) și exprimați-l sub formă canonică. Determinați apoi rădăcinile reale ale ecuației P(x)=0P(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Se calculează determinantul dezvoltând după prima linie: P(x)=x∣x33x∣−1∣132x∣+2∣1x23∣=x(x2−9)−1(x−6)+2(3−2x)=x3−9x−x+6+6−4x=x3−14x+12P(x) = x \begin{vmatrix} x & 3 \\ 3 & x \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & x \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = x(x^2 - 9) - 1(x - 6) + 2(3 - 2x) = x^3 - 9x - x + 6 + 6 - 4x = x^3 - 14x + 12. Forma canonică este P(x)=x3−14x+12P(x) = x^3 - 14x + 12.
24 puncte
Se rezolvă ecuația x3−14x+12=0x^3 - 14x + 12 = 0. Se caută rădăcini raționale testând divizorii lui 12. Se observă că x=2x=2 este rădăcină: 23−14⋅2+12=8−28+12=−8≠02^3 - 14\cdot2 + 12 = 8 - 28 + 12 = -8 \neq 0, dar se verifică x=2x=2 nu este, apoi se testează x=3:27−42+12=−3x=3: 27-42+12=-3, x=1:1−14+12=−1x=1:1-14+12=-1, x=−2:−8+28+12=32x=-2:-8+28+12=32, etc. Pentru factorizare, se împarte polinomul la x−2x-2 (după ce se găsește o rădăcină, de exemplu prin încercare sau folosind metode algebrice) și se obține x3−14x+12=(x−2)(x2+2x−6)x^3 - 14x + 12 = (x-2)(x^2+2x-6). Se rezolvă ecuația pătratică x2+2x−6=0x^2+2x-6=0 cu formula: x=−2±4+242=−2±282=−2±272=−1±7x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+24}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}. Astfel, rădăcinile reale sunt x=2x=2, x=−1+7x=-1+\sqrt{7}, x=−1−7x=-1-\sqrt{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.