MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice numere reale a,b,ca, b, c, avem: ∣abcbcacab∣=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2). Apoi, folosiți acest rezultat pentru a calcula determinantul pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul direct: Δ=a(bc−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=3abc−a3−b3−c3\Delta = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 3abc - a^3 - b^3 - c^3. Folosiți identitatea algebrică a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) pentru a obține Δ=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\Delta = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2).
23 puncte
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, calculați a+b+c=6a+b+c=6, ab+bc+ca=11ab+bc+ca=11, a2+b2+c2=14a^2+b^2+c^2=14, deci ab+bc+ca−a2−b2−c2=−3ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2 = -3. Aplicați formula: determinantul este 6×(−3)=−186 \times (-3) = -18.
33 puncte
Verificați prin calcul direct: ∣123231312∣=1(6−1)−2(4−3)+3(2−9)=5−2−21=−18\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(6-1) - 2(4-3) + 3(2-9) = 5 - 2 - 21 = -18, confirmând rezultatul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.