MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+ay+a2z=1x+by+b2z=1x+cy+c2z=1\begin{cases} x + ay + a^2 z = 1 \\ x + by + b^2 z = 1 \\ x + cy + c^2 z = 1 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Determinați condițiile asupra lui a,b,ca, b, c pentru care sistemul are soluție unică. b) În cazul în care sistemul are soluție unică, găsiți soluția (x,y,z)(x, y, z).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem matricea sistemului și calculăm determinantul D=∣1aa21bb21cc2∣D = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}. Acesta este un determinant Vandermonde, și avem D=(b−a)(c−a)(c−b)D = (b-a)(c-a)(c-b). \n
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă D≠0D \neq 0, adică a,b,ca, b, c sunt distincte două câte două: a≠ba \neq b, a≠ca \neq c, b≠cb \neq c. \n
33 puncte
Folosim regula lui Cramer. Calculăm Dx=∣1aa21bb21cc2∣=DD_x = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = D, deci x=DxD=1x = \frac{D_x}{D} = 1. Calculăm Dy=∣11a211b211c2∣=0D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a^2 \\ 1 & 1 & b^2 \\ 1 & 1 & c^2 \end{vmatrix} = 0 (primele două coloane identice) și Dz=∣1a11b11c1∣=0D_z = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix} = 0 (prima și a treia coloană proporționale), deci y=DyD=0y = \frac{D_y}{D} = 0 și z=DzD=0z = \frac{D_z}{D} = 0. Astfel, soluția unică este (1,0,0)(1, 0, 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.