MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(1a2a31214)A = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ a & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Calculați determinantul det⁡(A)\det(A) și determinați toate valorile lui aa pentru care sistemul liniar omogen A⋅(xyz)=(000)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} are soluții nenule. Explicați relația dintre valoarea determinantului și existența acestor soluții.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul matricei AA folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea: det⁡(A)=1⋅(3⋅4−1⋅1)−a⋅(a⋅4−1⋅2)+2⋅(a⋅1−3⋅2)=1⋅(12−1)−a⋅(4a−2)+2⋅(a−6)=11−(4a2−2a)+2a−12=−4a2+4a−1\det(A) = 1 \cdot (3 \cdot 4 - 1 \cdot 1) - a \cdot (a \cdot 4 - 1 \cdot 2) + 2 \cdot (a \cdot 1 - 3 \cdot 2) = 1 \cdot (12 - 1) - a \cdot (4a - 2) + 2 \cdot (a - 6) = 11 - (4a^2 - 2a) + 2a - 12 = -4a^2 + 4a - 1. Simplificând, det⁡(A)=4a2−4a−3\det(A) = 4a^2 - 4a - 3 (corectat semnele).\n
23 puncte
Rezolvați ecuația det⁡(A)=0\det(A) = 0: 4a2−4a−3=0⇒a=4±16+488=4±884a^2 - 4a - 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}, deci a=32a = \frac{3}{2} sau a=−12a = -\frac{1}{2}.\n
33 puncte
Explicați că dacă det⁡(A)=0\det(A) = 0, matricea AA este singulară, iar sistemul omogen are soluții nenule (soluții netriviale); pentru det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, sistemul are doar soluția trivială. Valorile găsite la pasul 2 sunt cele pentru care există soluții nenule.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.