MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiInducție matematicăȘiruri de numere reale
Fie determinantul Dn=∣210…0121…0012…0⋮⋮⋮⋱⋮000…2∣D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{vmatrix} de ordin nn. a) Demonstrați că pentru orice n≥3n \geq 3, Dn=2Dn−1−Dn−2D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}. b) Calculați D1D_1, D2D_2 și deduceți o formulă pentru DnD_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Dezvoltați DnD_n după prima linie: Dn=2⋅Dn−1−1⋅∣110…0021…0⋮⋮⋮⋱⋮000…2∣D_n = 2 \cdot D_{n-1} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{vmatrix}. Al doilea determinant este egal cu Dn−2D_{n-2}, deoarece eliminarea primei linii și a primei coloane dă o matrice similară.
23 puncte
Deci, Dn=2Dn−1−Dn−2D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}.
33 puncte
Calculați D1=2D_1 = 2, D2=∣2112∣=4−1=3D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3. Prin inducție matematică: pentru n=1n=1, D1=2=1+1D_1=2=1+1; presupunem Dk=k+1D_k = k+1 și Dk−1=kD_{k-1} = k, atunci Dk+1=2(k+1)−k=k+2=(k+1)+1D_{k+1} = 2(k+1) - k = k+2 = (k+1)+1. Astfel, Dn=n+1D_n = n+1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.