MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebricePolinoame
Fie x,y,zx, y, z numere reale distincte. Arătați că determinantul Δ=∣111xyzx2y2z2∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} este nenul și deduceți că dacă x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz, atunci x+y+z=0x + y + z = 0 sau x=y=zx = y = z.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul Vandermonde: Δ=(y−x)(z−x)(z−y)\Delta = (y - x)(z - x)(z - y). Deoarece x,y,zx, y, z sunt distincte, fiecare factor este nenul, deci Δ≠0\Delta \neq 0.
23 puncte
Utilizați identitatea algebrică: x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−xz−yz)x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz). Condiția dată este x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz, echivalent cu x3+y3+z3−3xyz=0x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0, deci (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−xz−yz)=0(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = 0.
33 puncte
Observați că x2+y2+z2−xy−xz−yz=12[(x−y)2+(x−z)2+(y−z)2]x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = \frac{1}{2}[(x-y)^2 + (x-z)^2 + (y-z)^2]. Deoarece x,y,zx, y, z sunt distincte, această expresie este strict pozitivă, deci nu poate fi zero. Din pasul 2, rezultă că x+y+z=0x + y + z = 0. Alternativ, dacă x,y,zx, y, z nu sunt neapărat distincte, cazul x=y=zx = y = z satisface și el condiția inițială (deoarece atunci x3+y3+z3=3x3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3x^3 = 3xyz). Concluzia: din x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz, rezultă x+y+z=0x + y + z = 0 sau x=y=zx = y = z.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.