MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real aa: {x+ay+z=1ax+y+z=ax+y+az=a2\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ ax + y + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}. Determinați pentru ce valori ale lui aa sistemul are soluție unică. Pentru a=2a=2, aflați soluția sistemului folosind determinanții lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți determinantul principal al sistemului, Δ=∣1a1a1111a∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}, și condiția pentru soluție unică: Δ≠0\Delta \neq 0.\n
24 puncte
Calculați Δ\Delta prin desfacere: Δ=1⋅(1⋅a−1⋅1)−a⋅(a⋅a−1⋅1)+1⋅(a⋅1−1⋅1)=−a3+3a−2\Delta = 1 \cdot (1 \cdot a - 1 \cdot 1) - a \cdot (a \cdot a - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (a \cdot 1 - 1 \cdot 1) = -a^3 + 3a - 2. Factorizați: Δ=−(a−1)2(a+2)\Delta = -(a-1)^2(a+2). Sistemul are soluție unică pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2.\n
33 puncte
Pentru a=2a=2, Δ=−4\Delta = -4. Calculați determinanții pentru necunoscute: Δx=∣121211412∣=−6\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -6, Δy=∣111221142∣=2\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2, Δz=∣121212114∣=8\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 8. Soluțiile sunt x=Δx/Δ=1.5x = \Delta_x / \Delta = 1.5, y=Δy/Δ=−0.5y = \Delta_y / \Delta = -0.5, z=Δz/Δ=−2z = \Delta_z / \Delta = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.