MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+ay+a2z=1ax+y+az=aa2x+ay+z=a2\begin{cases} x + ay + a^2 z = 1 \\ a x + y + a z = a \\ a^2 x + a y + z = a^2 \end{cases} unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, și în acest caz, găsiți soluția folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie matricea coeficienților A=(1aa2a1aa2a1)A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a \\ a^2 & a & 1 \end{pmatrix} și se calculează determinantul det⁡(A)=1⋅det⁡(1aa1)−a⋅det⁡(aaa21)+a2⋅det⁡(a1a2a)=(1−a2)−a(a−a3)+a2(a2−a2)=1−a2−a2+a4=1−2a2+a4=(a2−1)2\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{pmatrix} - a \cdot \det\begin{pmatrix} a & a \\ a^2 & 1 \end{pmatrix} + a^2 \cdot \det\begin{pmatrix} a & 1 \\ a^2 & a \end{pmatrix} = (1 - a^2) - a(a - a^3) + a^2(a^2 - a^2) = 1 - a^2 - a^2 + a^4 = 1 - 2a^2 + a^4 = (a^2 - 1)^2.
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică pentru a≠±1a \neq \pm 1.
34 puncte
Pentru a≠±1a \neq \pm 1, se aplică regula lui Cramer. Se calculează Dx=det⁡(A)=(a2−1)2D_x = \det(A) = (a^2-1)^2, Dy=det⁡(11a2aaaa2a21)=0D_y = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & a^2 \\ a & a & a \\ a^2 & a^2 & 1 \end{pmatrix} = 0, Dz=det⁡(1a1a1aa2aa2)=0D_z = \det\begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ a^2 & a & a^2 \end{pmatrix} = 0. Atunci soluția este x=Dxdet⁡(A)=1x = \frac{D_x}{\det(A)} = 1, y=Dydet⁡(A)=0y = \frac{D_y}{\det(A)} = 0, z=Dzdet⁡(A)=0z = \frac{D_z}{\det(A)} = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.