MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Fie sistemul de ecuații liniare: {ax+by+cz=0bx+cy+az=0cx+ay+bz=0\begin{cases} ax + by + cz = 0 \\ bx + cy + az = 0 \\ cx + ay + bz = 0 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei coeficienților Δ=∣abcbcacab∣\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} și arătați că Δ=a3+b3+c3−3abc\Delta = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc. b) Determinați condițiile pe care trebuie să le îndeplinească a,b,ca, b, c pentru ca sistemul să aibă soluții nenule.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculăm determinantul folosind regula lui Sarrus sau proprietăți: Δ=a⋅c⋅b+b⋅a⋅c+c⋅b⋅a−c⋅c⋅c−a⋅a⋅a−b⋅b⋅b=3abc−(a3+b3+c3)\Delta = a \cdot c \cdot b + b \cdot a \cdot c + c \cdot b \cdot a - c \cdot c \cdot c - a \cdot a \cdot a - b \cdot b \cdot b = 3abc - (a^3 + b^3 + c^3). Rearanjând, obținem Δ=a3+b3+c3−3abc\Delta = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.
26 puncte
Pentru ca sistemul să aibă soluții nenule, determinantul trebuie să fie zero: a3+b3+c3−3abc=0a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0. Factorizăm expresia: a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). Astfel, condițiile sunt a+b+c=0a+b+c=0 sau a2+b2+c2−ab−bc−ca=0a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0. A doua condiție este echivalentă cu (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0, deci a=b=ca=b=c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.