MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie determinantul D(x)=∣xabaxcbcx∣D(x) = \begin{vmatrix} x & a & b \\ a & x & c \\ b & c & x \end{vmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Calculați D(x)D(x) și exprimați-l ca polinom în xx. b) Demonstrați că ecuația D(x)=0D(x) = 0 are toate rădăcinile reale, indiferent de valorile lui a,b,ca, b, c. c) Pentru a=1,b=1,c=1a=1, b=1, c=1, determinați rădăcinile ecuației D(x)=0D(x)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se dezvoltă determinantul D(x)D(x) după prima linie: D(x)=x∣xccx∣−a∣acbx∣+b∣axbc∣=x(x2−c2)−a(ax−bc)+b(ac−bx)=x3−(a2+b2+c2)x+2abcD(x) = x \begin{vmatrix} x & c \\ c & x \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} a & c \\ b & x \end{vmatrix} + b \begin{vmatrix} a & x \\ b & c \end{vmatrix} = x(x^2 - c^2) - a(ax - bc) + b(ac - bx) = x^3 - (a^2 + b^2 + c^2)x + 2abc.
23 puncte
Polinomul P(x)=x3−(a2+b2+c2)x+2abcP(x) = x^3 - (a^2+b^2+c^2)x + 2abc are toate rădăcinile reale deoarece este de grad impar cu coeficienți reali; se poate aplica teorema valorilor intermediare sau analiza semnului lui P(x)P(x) pentru x→±∞x \to \pm\infty.
33 puncte
Pentru a=1,b=1,c=1a=1, b=1, c=1, D(x)=x3−3x+2D(x) = x^3 - 3x + 2. Se factorizează: x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2), deci rădăcinile sunt x=1x=1 (dublă) și x=−2x=-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.