MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie sistemul de ecuații: {ax+y+z=1x+ay+z=1x+y+az=1\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile parametrului aa pentru care sistemul are soluție unică și, în acest caz, rezolvați sistemul folosind determinanți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează determinantul matricei coeficienților: D=∣a111a111a∣=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a3−a−a+1+1−a=a3−3a+2D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2.
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0, adică a3−3a+2≠0a^3 - 3a + 2 \neq 0. Se factorizează: a3−3a+2=(a−1)2(a+2)a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2). Deci, condiția este a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2.
34 puncte
Pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, se aplică regula lui Cramer. Se calculează determinanții: Dx=∣1111a111a∣=1(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a2−1−a+1+1−a=a2−2a+1=(a−1)2D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 1(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^2 - 1 - a + 1 + 1 - a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2, Dy=∣a1111111a∣=a(1⋅a−1⋅1)−1(1⋅a−1⋅1)+1(1⋅1−1⋅1)=a(a−1)−(a−1)+0=(a−1)2D_y = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(1 \cdot a - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot a - 1 \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = a(a-1) - (a-1) + 0 = (a-1)^2, Dz=∣a111a1111∣=a(a⋅1−1⋅1)−1(1⋅1−1⋅1)+1(1⋅1−a⋅1)=a(a−1)−0+(1−a)=(a−1)2D_z = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a(a \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - a \cdot 1) = a(a-1) - 0 + (1-a) = (a-1)^2. Atunci, x=DxD=(a−1)2(a−1)2(a+2)=1a+2x = \frac{D_x}{D} = \frac{(a-1)^2}{(a-1)^2(a+2)} = \frac{1}{a+2}, y=DyD=1a+2y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{a+2}, z=DzD=1a+2z = \frac{D_z}{D} = \frac{1}{a+2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.