MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciIdentități algebrice
Calculați determinantul matricei A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra,b,c \in \mathbb{R}. Demonstrați că matricea AA este inversabilă dacă și numai dacă a+b+c≠0a+b+c \neq 0 și a2+b2+c2−ab−bc−ca≠0a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \neq 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați determinantul folosind regula lui Sarrus: det⁡(A)=a⋅c⋅b+b⋅a⋅c+c⋅b⋅a−c⋅c⋅c−a⋅a⋅a−b⋅b⋅b=3abc−a3−b3−c3\det(A) = a \cdot c \cdot b + b \cdot a \cdot c + c \cdot b \cdot a - c \cdot c \cdot c - a \cdot a \cdot a - b \cdot b \cdot b = 3abc - a^3 - b^3 - c^3.\n
23 puncte
Factorizați expresia: det⁡(A)=−(a3+b3+c3−3abc)=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)\det(A) = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca), folosind identitatea algebrică cunoscută.\n
34 puncte
Stabiliți condițiile de inversabilitate: det⁡(A)≠0⇒−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)≠0⇒a+b+c≠0\det(A) \neq 0 \Rightarrow -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) \neq 0 \Rightarrow a+b+c \neq 0 și a2+b2+c2−ab−bc−ca≠0a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca \neq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.