MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(1mm2mm21m21m)A = \begin{pmatrix} 1 & m & m^2 \\ m & m^2 & 1 \\ m^2 & 1 & m \end{pmatrix}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei AA. b) Determinați valorile lui mm pentru care matricea AA este inversabilă. c) Pentru m=2m=2, rezolvați sistemul liniar A⋅(xyz)=(123)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm det⁡(A)\det(A) folosind regula lui Sarrus: det⁡(A)=1⋅m2⋅m+m⋅1⋅m2+m2⋅m⋅1−m2⋅m2⋅m2−1⋅1⋅1−m⋅m⋅m=m3+m3+m3−m6−1−m3=2m3−m6−1=−(m3−1)2\det(A) = 1 \cdot m^2 \cdot m + m \cdot 1 \cdot m^2 + m^2 \cdot m \cdot 1 - m^2 \cdot m^2 \cdot m^2 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - m \cdot m \cdot m = m^3 + m^3 + m^3 - m^6 - 1 - m^3 = 2m^3 - m^6 - 1 = -(m^3 - 1)^2.
22 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci −(m3−1)2≠0⇒m3−1≠0⇒m≠1-(m^3 - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow m^3 - 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq 1. Astfel, pentru m∈R∖{1}m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, AA este inversabilă.
35 puncte
Pentru m=2m=2, A=(124241412)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} și det⁡(A)=−(23−1)2=−49≠0\det(A) = -(2^3 - 1)^2 = -49 \neq 0. Folosim regula lui Cramer: Δ=det⁡(A)=−49\Delta = \det(A) = -49, Δx=det⁡(124241312)=−35\Delta_x = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = -35, Δy=det⁡(114221432)=−7\Delta_y = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} = -7, Δz=det⁡(121242413)=0\Delta_z = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} = 0. Soluția: x=Δx/Δ=5/7x = \Delta_x / \Delta = 5/7, y=Δy/Δ=1/7y = \Delta_y / \Delta = 1/7, z=Δz/Δ=0z = \Delta_z / \Delta = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.