MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+2y+kz=12x+ky+2z=2kx+2y+z=k\begin{cases} x + 2y + kz = 1 \\ 2x + ky + 2z = 2 \\ kx + 2y + z = k \end{cases}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică, folosind determinanți.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem matricea coeficienților M=(12k2k2k21)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & k \\ 2 & k & 2 \\ k & 2 & 1 \end{pmatrix} și calculăm determinantul Δ=det⁡(M)\Delta = \det(M) cu regula lui Sarrus: Δ=1⋅k⋅1+2⋅2⋅k+k⋅2⋅2−k⋅k⋅k−2⋅2⋅1−1⋅2⋅2=k+4k+4k−k3−4−4=9k−k3−8\Delta = 1 \cdot k \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot k + k \cdot 2 \cdot 2 - k \cdot k \cdot k - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \cdot 2 = k + 4k + 4k - k^3 - 4 - 4 = 9k - k^3 - 8.
23 puncte
Simplificăm: Δ=−k3+9k−8\Delta = -k^3 + 9k - 8. Pentru soluție unică, Δ≠0\Delta \neq 0. Rezolvăm Δ=0\Delta = 0: −k3+9k−8=0⇒k3−9k+8=0-k^3 + 9k - 8 = 0 \Rightarrow k^3 - 9k + 8 = 0. Factorizăm: (k−1)(k2+k−8)=0(k-1)(k^2 + k - 8) = 0, deci k=1k=1 sau k=−1±332k = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}.
32 puncte
Discuție: Pentru k∉{1,−1+332,−1−332}k \notin \{1, \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}\}, avem Δ≠0\Delta \neq 0, deci sistemul are soluție unică (conform regulii lui Cramer). Pentru kk egale cu aceste valori, Δ=0\Delta = 0 și sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat, dar nu are soluție unică.
42 puncte
Concluzie: Sistemul are soluție unică pentru k∈R∖{1,−1+332,−1−332}k \in \mathbb{R} \setminus \{1, \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.