MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie determinantul D=∣1aa21bb21cc2∣D = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale. a) Calculați DD și arătați că D=(a−b)(b−c)(c−a)D = (a-b)(b-c)(c-a). b) Dacă a,b,ca, b, c sunt rădăcinile ecuației x3−px2+qx−r=0x^3 - px^2 + qx - r = 0, exprimați DD în funcție de p,q,rp, q, r. c) Utilizați rezultatul pentru a discuta natura soluțiilor sistemului omogen {x+ay+a2z=0x+by+b2z=0x+cy+c2z=0\begin{cases} x + ay + a^2z = 0 \\ x + by + b^2z = 0 \\ x + cy + c^2z = 0 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scade prima linie din a doua și a treia linie, obținând ∣1aa20b−ab2−a20c−ac2−a2∣\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix}. Se factorizează, rezultând D=(b−a)(c−a)∣1b+a1c+a∣=(a−b)(b−c)(c−a)D = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & b+a \\ 1 & c+a \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a).
23 puncte
Folosind relațiile lui Viete, a+b+c=pa+b+c=p, ab+ac+bc=qab+ac+bc=q, abc=rabc=r. Se calculează D2=(a−b)2(b−c)2(c−a)2D^2 = (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 ca discriminant al polinomului, iar DD se exprimă ca p2q2−4p3r−4q3+18pqr−27r2\sqrt{p^2q^2 - 4p^3r - 4q^3 + 18pqr - 27r^2}, sau se menționează că D=0D=0 dacă și numai dacă rădăcinile nu sunt distincte.
34 puncte
Sistemul omogen are matricea coeficienților cu determinantul DD. Dacă D≠0D \neq 0, sistemul are soluția unică x=y=z=0x=y=z=0. Dacă D=0D=0, sistemul are infinitate de soluții; se analizează cazurile când rădăcinile a,b,ca, b, c sunt egale sau nu, folosind valorile lui p,q,rp, q, r.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.