MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real mm: {(m+2)x+y+z=m+1x+(m+2)y+z=mx+y+(m+2)z=m−1\begin{cases} (m+2)x + y + z = m+1 \\ x + (m+2)y + z = m \\ x + y + (m+2)z = m-1 \end{cases}. Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică și, în acest caz, găsiți soluția folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem determinantul sistemului Δ=∣m+2111m+2111m+2∣\Delta = \begin{vmatrix} m+2 & 1 & 1 \\ 1 & m+2 & 1 \\ 1 & 1 & m+2 \end{vmatrix}. Adunăm toate coloanele la prima coloană: Δ=∣m+411m+4m+21m+41m+2∣=(m+4)∣1111m+2111m+2∣=(m+4)(m+1)2\Delta = \begin{vmatrix} m+4 & 1 & 1 \\ m+4 & m+2 & 1 \\ m+4 & 1 & m+2 \end{vmatrix} = (m+4) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m+2 & 1 \\ 1 & 1 & m+2 \end{vmatrix} = (m+4)(m+1)^2.
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică m≠−4m \neq -4 și m≠−1m \neq -1.
33 puncte
Calculăm determinanții pentru necunoscute. Pentru Δx\Delta_x, înlocuim prima coloană cu termenii liberi: Δx=∣m+111mm+21m−11m+2∣\Delta_x = \begin{vmatrix} m+1 & 1 & 1 \\ m & m+2 & 1 \\ m-1 & 1 & m+2 \end{vmatrix}. Adunăm toate coloanele la prima: Δx=∣m+311m+3m+21m+31m+2∣=(m+3)∣1111m+2111m+2∣=(m+3)(m+1)2\Delta_x = \begin{vmatrix} m+3 & 1 & 1 \\ m+3 & m+2 & 1 \\ m+3 & 1 & m+2 \end{vmatrix} = (m+3) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m+2 & 1 \\ 1 & 1 & m+2 \end{vmatrix} = (m+3)(m+1)^2. Similar, Δy=∣m+2m+111m11m−1m+2∣=0\Delta_y = \begin{vmatrix} m+2 & m+1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & m-1 & m+2 \end{vmatrix} = 0 și Δz=∣m+21m+11m+2m11m−1∣=−(m+3)(m+1)2\Delta_z = \begin{vmatrix} m+2 & 1 & m+1 \\ 1 & m+2 & m \\ 1 & 1 & m-1 \end{vmatrix} = -(m+3)(m+1)^2.
42 puncte
Soluția este x=ΔxΔ=(m+3)(m+1)2(m+4)(m+1)2=m+3m+4x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{(m+3)(m+1)^2}{(m+4)(m+1)^2} = \frac{m+3}{m+4}, y=ΔyΔ=0y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = 0, z=ΔzΔ=−m+3m+4z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = -\frac{m+3}{m+4}, pentru m≠−4m \neq -4 și m≠−1m \neq -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.