MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameIdentități algebrice
Demonstrați că determinantul ∣111abca2b2c2∣=(a−b)(b−c)(c−a)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a). Apoi, calculați determinantul D=∣111xyzx2y2z2∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} știind că x,y,zx, y, z sunt rădăcinile ecuației t3−3t2+2t−1=0t^3 - 3t^2 + 2t - 1 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul prin scăderea primei coloane din celelalte: ∣100ab−ac−aa2b2−a2c2−a2∣=(b−a)(c−a)∣11b+ac+a∣=(a−b)(b−c)(c−a)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ b+a & c+a \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a).\n
23 puncte
Aplicați identitatea pentru x,y,zx, y, z: D=(x−y)(y−z)(z−x)D = (x-y)(y-z)(z-x).\n
33 puncte
Folosind relațiile lui Viète pentru polinomul dat, x+y+z=3x+y+z=3, xy+yz+zx=2xy+yz+zx=2, xyz=1xyz=1. Calculați D2=(x−y)2(y−z)2(z−x)2D^2 = (x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 ca discriminant al polinomului cubic. Pentru t3+bt2+ct+d=0t^3 + bt^2 + ct + d = 0 cu b=−3b=-3, c=2c=2, d=−1d=-1, discriminantul este Δ=18bcd−4b3d+b2c2−4ac3−27a2d2\Delta = 18bcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2 (cu a=1a=1). Obțineți Δ=18∗1∗(−3)∗2∗(−1)−4∗(−3)3∗(−1)+(−3)2∗22−4∗1∗23−27∗12∗(−1)2=−23\Delta = 18*1*(-3)*2*(-1) -4*(-3)^3*(-1) + (-3)^2*2^2 -4*1*2^3 -27*1^2*(-1)^2 = -23. Deci D2=−23D^2 = -23 și D=i23D = i\sqrt{23} (număr complex).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.