MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(3,5)B(3,5) și C(x,y)C(x,y). Folosiți determinanți pentru a calcula aria triunghiului ABCABC și determinați coordonatele punctului CC astfel încât aria să fie egală cu 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrie formula ariei triunghiului folosind determinantul: Aria=12∣det⁡(121351xy1)∣\text{Aria} = \frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ x & y & 1 \end{pmatrix} \right|. \
24 puncte
Calculează determinantul: det⁡(121351xy1)=1(5⋅1−1⋅y)−2(3⋅1−1⋅x)+1(3⋅y−5⋅x)=(5−y)−2(3−x)+(3y−5x)=5−y−6+2x+3y−5x=−3x+2y−1\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ x & y & 1 \end{pmatrix} = 1(5 \cdot 1 - 1 \cdot y) - 2(3 \cdot 1 - 1 \cdot x) + 1(3 \cdot y - 5 \cdot x) = (5 - y) - 2(3 - x) + (3y - 5x) = 5 - y - 6 + 2x + 3y - 5x = -3x + 2y - 1. Deci aria este 12∣−3x+2y−1∣\frac{1}{2} |-3x + 2y - 1|. \
33 puncte
Rezolvă ecuația 12∣−3x+2y−1∣=4\frac{1}{2} |-3x + 2y - 1| = 4, adică ∣−3x+2y−1∣=8|-3x + 2y - 1| = 8. Obține două ecuații liniare: −3x+2y−1=8-3x + 2y - 1 = 8 și −3x+2y−1=−8-3x + 2y - 1 = -8, de unde CC poate avea coordonate care satisfac una dintre aceste ecuații, de exemplu drepte în plan.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.