MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniarePolinoame
Fie matricea B=(x101x101x)B = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix}. Aflați valorile lui xx pentru care determinantul lui BB este egal cu 0 și studiați natura soluțiilor sistemului {xy1+y2=0y1+xy2+y3=0y2+xy3=0\begin{cases} x y_1 + y_2 = 0 \\ y_1 + x y_2 + y_3 = 0 \\ y_2 + x y_3 = 0 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm determinantul lui B: det⁡(B)=x∣x11x∣−1∣110x∣+0∣1x01∣=x(x2−1)−1(x−0)=x3−x−x=x3−2x.\det(B) = x \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & x \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = x(x^2 - 1) - 1(x - 0) = x^3 - x - x = x^3 - 2x.
24 puncte
Punem condiția det⁡(B)=0\det(B) = 0, deci x3−2x=0⇒x(x2−2)=0⇒x=0x^3 - 2x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x=2x = \sqrt{2} sau x=−2x = -\sqrt{2}.
33 puncte
Pentru fiecare valoare a lui xx, sistemul este omogen și are determinantul zero, deci are soluții nenule. Pentru x=0x = 0, matricea devine (010101010)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} și rangul este 2, deci spațiul soluțiilor este unidimensional. Similar, pentru x=±2x = \pm\sqrt{2}, se analizează rangul matricei pentru a determina dimensiunea spațiului soluțiilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.