MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=12x+ky+3z=23x−y+mz=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + ky + 3z = 2 \\ 3x - y + mz = 3 \end{cases} unde kk și mm sunt parametri reali. a) Determinați valorile lui kk și mm pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru k=1k=1 și m=2m=2, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrie matricea coeficienților M=(12−12k33−1m)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & k & 3 \\ 3 & -1 & m \end{pmatrix} și calculează determinantul D=det⁡(M)=1⋅det⁡(k3−1m)−2⋅det⁡(233m)+(−1)⋅det⁡(2k3−1)=km+3−2(2m−9)−(−2−3k)=km+3−4m+18+2+3k=km+3k−4m+23D = \det(M) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} k & 3 \\ -1 & m \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & m \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & k \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = k m + 3 - 2(2m - 9) - ( -2 - 3k ) = k m + 3 - 4m + 18 + 2 + 3k = k m + 3k - 4m + 23.
23 puncte
Pentru soluție unică, este necesar ca D≠0D \neq 0. Deci, km+3k−4m+23≠0k m + 3k - 4m + 23 \neq 0. Aceasta este condiția generală; se pot analiza cazuri particulare dacă este necesar, dar enunțul cere doar identificarea că soluția unică există când acest determinant este nenul.
34 puncte
Pentru k=1k=1 și m=2m=2, calculează D=1⋅2+3⋅1−4⋅2+23=2+3−8+23=20≠0D = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 23 = 2 + 3 - 8 + 23 = 20 \neq 0. Apoi, calculează determinanții DxD_x, DyD_y, DzD_z: Dx=det⁡(12−12133−12)=1⋅det⁡(13−12)−2⋅det⁡(2332)+(−1)⋅det⁡(213−1)=1(2+3)−2(4−9)−1(−2−3)=5−2(−5)−(−5)=5+10+5=20D_x = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = 1(2+3) - 2(4-9) -1(-2-3) = 5 - 2(-5) - (-5) = 5 + 10 + 5 = 20, Dy=det⁡(11−1223332)=0D_y = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} = 0 (deoarece coloana a doua și coloana termenilor liberi sunt proporționale, dar se calculează: 1⋅det⁡(2332)−1⋅det⁡(2332)+(−1)⋅det⁡(2233)=01\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + (-1)\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = 0), Dz=det⁡(1212123−13)=1⋅det⁡(12−13)−2⋅det⁡(2233)+1⋅det⁡(213−1)=1(3+2)−2(6−6)+1(−2−3)=5−0−5=0D_z = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 3 \end{pmatrix} = 1\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} - 2\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} + 1\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = 1(3+2) - 2(6-6) + 1(-2-3) = 5 - 0 - 5 = 0. Aplicând regula lui Cramer: x=Dx/D=20/20=1x = D_x / D = 20/20 = 1, y=Dy/D=0/20=0y = D_y / D = 0/20 = 0, z=Dz/D=0/20=0z = D_z / D = 0/20 = 0. Verifică în sistem: 1+2⋅0−0=11 + 2\cdot0 - 0 = 1, 2⋅1+1⋅0+3⋅0=22\cdot1 + 1\cdot0 + 3\cdot0 = 2, 3⋅1−0+2⋅0=33\cdot1 - 0 + 2\cdot0 = 3, corect.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.