MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=∣XabaXcbcX∣P(X) = \begin{vmatrix} X & a & b \\ a & X & c \\ b & c & X \end{vmatrix}, unde a,b,ca,b,c sunt numere reale. a) Să se determine forma polinomului P(X)P(X). b) Să se arate că dacă a2+b2+c2=1a^2 + b^2 + c^2 = 1, atunci polinomul are o rădăcină reală. c) Să se determine relația între a,b,ca,b,c astfel încât P(X)P(X) să aibă o rădăcină dublă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm determinantul: P(X)=∣XabaXcbcX∣P(X) = \begin{vmatrix} X & a & b \\ a & X & c \\ b & c & X \end{vmatrix}. Dezvoltăm după prima linie: P(X)=X⋅∣XccX∣−a⋅∣acbX∣+b⋅∣aXbc∣=X(X2−c2)−a(aX−bc)+b(ac−bX)=X3−Xc2−a2X+abc+abc−b2X=X3−(a2+b2+c2)X+2abcP(X) = X \cdot \begin{vmatrix} X & c \\ c & X \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} a & c \\ b & X \end{vmatrix} + b \cdot \begin{vmatrix} a & X \\ b & c \end{vmatrix} = X(X^2 - c^2) - a(aX - bc) + b(ac - bX) = X^3 - Xc^2 - a^2X + abc + abc - b^2X = X^3 - (a^2 + b^2 + c^2)X + 2abc. Deci P(X)=X3−(a2+b2+c2)X+2abcP(X) = X^3 - (a^2 + b^2 + c^2)X + 2abc.
23 puncte
Dacă a2+b2+c2=1a^2 + b^2 + c^2 = 1, atunci P(X)=X3−X+2abcP(X) = X^3 - X + 2abc. Considerăm P(0)=2abcP(0) = 2abc și P(1)=1−1+2abc=2abcP(1) = 1 - 1 + 2abc = 2abc. Nu este suficient. Observăm că P(X)P(X) este polinom de gradul 3 cu coeficientul dominant pozitiv. Calculăm limita la −∞-\infty: lim⁡X→−∞P(X)=−∞\lim_{X \to -\infty} P(X) = -\infty și la ∞\infty: lim⁡X→∞P(X)=∞\lim_{X \to \infty} P(X) = \infty. Deoarece funcția polinomială este continuă, conform proprietății lui Darboux, există cel puțin un punct unde P(X)=0P(X)=0, deci are o rădăcină reală.
33 puncte
Pentru ca P(X)P(X) să aibă o rădăcină dublă, trebuie ca P(X)P(X) și derivata sa P′(X)P'(X) să aibă o rădăcină comună. P′(X)=3X2−(a2+b2+c2)P'(X) = 3X^2 - (a^2 + b^2 + c^2). Fie rr rădăcina dublă, atunci P(r)=0P(r)=0 și P′(r)=0P'(r)=0. Din P′(r)=0P'(r)=0 avem 3r2=a2+b2+c23r^2 = a^2 + b^2 + c^2. Înlocuim în P(r)=0P(r)=0: r3−(a2+b2+c2)r+2abc=r3−3r2⋅r+2abc=r3−3r3+2abc=−2r3+2abc=0⇒r3=abcr^3 - (a^2 + b^2 + c^2)r + 2abc = r^3 - 3r^2 \cdot r + 2abc = r^3 - 3r^3 + 2abc = -2r^3 + 2abc = 0 \Rightarrow r^3 = abc. Dar din 3r2=a2+b2+c23r^2 = a^2 + b^2 + c^2, înlocuind r3=abcr^3 = abc, obținem 3(abc)2/3=a2+b2+c23(abc)^{2/3} = a^2 + b^2 + c^2. Aceasta este relația cerută între a,b,ca,b,c. Alternativ, se poate exprima: a2+b2+c2=3(abc)2/3a^2 + b^2 + c^2 = 3(abc)^{2/3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.