MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {(a−1)x+y+z=1x+(a−1)y+z=ax+y+(a−1)z=a2\begin{cases} (a-1)x + y + z = 1 \\ x + (a-1)y + z = a \\ x + y + (a-1)z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru a=0a=0, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Calculăm determinantul matricei sistemului: D=∣a−1111a−1111a−1∣D = \begin{vmatrix} a-1 & 1 & 1 \\ 1 & a-1 & 1 \\ 1 & 1 & a-1 \end{vmatrix}. Dezvoltând, D=(a−1)[(a−1)2−1]−1[1⋅(a−1)−1⋅1]+1[1⋅1−1⋅(a−1)]=(a−1)(a2−2a)−(a−2)+(2−a)=(a−1)a(a−2)−2(a−2)=(a−2)(a2−a−2)=(a−2)2(a+1)D = (a-1)[(a-1)^2 - 1] - 1[1 \cdot (a-1) - 1 \cdot 1] + 1[1 \cdot 1 - 1 \cdot (a-1)] = (a-1)(a^2 - 2a) - (a-2) + (2-a) = (a-1)a(a-2) - 2(a-2) = (a-2)(a^2 - a - 2) = (a-2)^2 (a+1). Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0, adică a≠2a \neq 2 și a≠−1a \neq -1.
23 puncte
Pentru a=0a=0, D=(0−2)2(0+1)=4≠0D = (0-2)^2 (0+1) = 4 \neq 0. Sistemul devine {−x+y+z=1x−y+z=0x+y−z=0\begin{cases} -x + y + z = 1 \\ x - y + z = 0 \\ x + y - z = 0 \end{cases}. Calculăm Dx=∣1110−1101−1∣=1⋅((−1)(−1)−1⋅1)−1⋅(0⋅(−1)−1⋅0)+1⋅(0⋅1−(−1)⋅0)=1⋅(1−1)−0+0=0D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-1)(-1) - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (0 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) = 1 \cdot (1-1) - 0 + 0 = 0. Dy=∣−11110110−1∣=−1⋅(0⋅(−1)−1⋅0)−1⋅(1⋅(−1)−1⋅1)+1⋅(1⋅0−0⋅1)=−1⋅0−1⋅(−2)+0=2D_y = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) - 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) = -1 \cdot 0 - 1 \cdot (-2) + 0 = 2. Dz=∣−1111−10110∣=−1⋅((−1)⋅0−0⋅1)−1⋅(1⋅0−0⋅1)+1⋅(1⋅1−(−1)⋅1)=−1⋅0−1⋅0+1⋅2=2D_z = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot ((-1) \cdot 0 - 0 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) = -1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 2.
32 puncte
Aplicând regula lui Cramer: x=Dx/D=0/4=0x = D_x / D = 0/4 = 0, y=Dy/D=2/4=12y = D_y / D = 2/4 = \frac{1}{2}, z=Dz/D=2/4=12z = D_z / D = 2/4 = \frac{1}{2}. Soluția sistemului pentru a=0a=0 este (x,y,z)=(0,12,12)(x,y,z) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.