MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameIdentități algebrice
Fie a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R} rădăcinile ecuației x3−5x2+6x−1=0x^3-5x^2+6x-1=0. Calculați determinantul Δ=∣abcbcacab∣\Delta=\begin{vmatrix}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{vmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinantul se poate calcula folosind proprietăți sau formule specifice. Observăm că suma elementelor pe fiecare linie și fiecare coloană este aceeași: S=a+b+cS=a+b+c. Din relațiile lui Viète pentru polinomul x3−5x2+6x−1=0x^3-5x^2+6x-1=0, avem a+b+c=5a+b+c=5 (coeficientul lui x2x^2 cu semn schimbat). \
24 puncte
Aplicăm transformări liniare pe determinant. Adunăm toate coloanele la prima coloană: \ Δ=∣a+b+cbcb+c+acac+a+bab∣=∣SbcScaSab∣\Delta=\begin{vmatrix}a+b+c & b & c \\ b+c+a & c & a \\ c+a+b & a & b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}S & b & c \\ S & c & a \\ S & a & b\end{vmatrix}. Factor comun SS din prima coloană: Δ=S⋅∣1bc1ca1ab∣\Delta=S\cdot\begin{vmatrix}1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b\end{vmatrix}. \
33 puncte
Calculăm noul determinant D=∣1bc1ca1ab∣D=\begin{vmatrix}1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b\end{vmatrix}. Scădem prima linie din a doua și a treia: \ D=∣1bc0c−ba−c0a−bb−c∣D=\begin{vmatrix}1 & b & c \\ 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-b & b-c\end{vmatrix}. Dezvoltăm după prima coloană: D=1⋅∣c−ba−ca−bb−c∣D=1\cdot\begin{vmatrix}c-b & a-c \\ a-b & b-c\end{vmatrix}. \ Calculăm ∣c−ba−ca−bb−c∣=(c−b)(b−c)−(a−c)(a−b)=−(c−b)2−(a−c)(a−b)\begin{vmatrix}c-b & a-c \\ a-b & b-c\end{vmatrix}=(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)=-(c-b)^2-(a-c)(a-b). \ Folosind a+b+c=5a+b+c=5, putem calcula mai departe, dar mai simplu este să observăm că D=(a+b+c)(ab+bc+ca)−a3−b3−c3D=(a+b+c)(ab+bc+ca)-a^3-b^3-c^3 sau să folosim relațiile lui Viète: ab+bc+ca=6ab+bc+ca=6, abc=1abc=1. \ Cu acestea, Δ=S⋅D=5⋅[−(c−b)2−(a−c)(a−b)]\Delta=S\cdot D=5\cdot[-(c-b)^2-(a-c)(a-b)] dar calculăm direct DD: D=(a+b+c)(ab+bc+ca)−a3−b3−c3D=(a+b+c)(ab+bc+ca)-a^3-b^3-c^3. Folosim identitatea a3+b3+c3=(a+b+c)3−3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=53−3⋅5⋅6+3⋅1=125−90+3=38a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=5^3-3\cdot5\cdot6+3\cdot1=125-90+3=38. Atunci D=5⋅6−38=30−38=−8D=5\cdot6-38=30-38=-8. Așadar, Δ=S⋅D=5⋅(−8)=−40\Delta=S\cdot D=5\cdot(-8)=-40.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.