MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie matricea A=(1xx21yy21zz2)A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix}. Calculați determinantul det⁡(A)\det(A) și arătați că det⁡(A)=(x−y)(y−z)(z−x)\det(A) = (x-y)(y-z)(z-x). Apoi, determinați condițiile în care det⁡(A)=0\det(A) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie determinantul det⁡(A)=∣1xx21yy21zz2∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} și se aplică operații elementare, de exemplu scăderea primei linii din celelalte, obținând ∣1xx20y−xy2−x20z−xz2−x2∣\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2-x^2 \\ 0 & z-x & z^2-x^2 \end{vmatrix}.
24 puncte
Se dezvoltă determinantul după prima coloană: det⁡(A)=1⋅∣y−xy2−x2z−xz2−x2∣\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} y-x & y^2-x^2 \\ z-x & z^2-x^2 \end{vmatrix}. Se factorizează: ∣y−x(y−x)(y+x)z−x(z−x)(z+x)∣=(y−x)(z−x)∣1y+x1z+x∣=(y−x)(z−x)((z+x)−(y+x))=(y−x)(z−x)(z−y)\begin{vmatrix} y-x & (y-x)(y+x) \\ z-x & (z-x)(z+x) \end{vmatrix} = (y-x)(z-x) \begin{vmatrix} 1 & y+x \\ 1 & z+x \end{vmatrix} = (y-x)(z-x)((z+x)-(y+x)) = (y-x)(z-x)(z-y). Rearanjând, det⁡(A)=(x−y)(y−z)(z−x)\det(A) = (x-y)(y-z)(z-x).
33 puncte
det⁡(A)=0\det(A)=0 dacă și numai dacă (x−y)(y−z)(z−x)=0(x-y)(y-z)(z-x)=0, adică x=yx=y sau y=zy=z sau z=xz=x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.