MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare omogene: {(a+1)x+by+cz=0ax+(b+1)y+cz=0ax+by+(c+1)z=0\begin{cases} (a+1)x + by + cz = 0 \\ ax + (b+1)y + cz = 0 \\ ax + by + (c+1)z = 0 \end{cases}, unde a,b,ca, b, c sunt parametri reali. Determinați condiția necesară și suficientă asupra lui a,b,ca, b, c pentru care sistemul are soluții nenule, utilizând determinanți. Apoi, pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, rezolvați sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se scrie matricea coeficienților A=(a+1bcab+1cabc+1)A = \begin{pmatrix} a+1 & b & c \\ a & b+1 & c \\ a & b & c+1 \end{pmatrix} și se calculează determinantul D=det⁡(A)D = \det(A).
23 puncte
Se simplifică determinantul scăzând prima linie din a doua și a treia: D=∣a+1bc−110−101∣=(a+1)⋅1⋅1+b⋅0⋅(−1)+c⋅(−1)⋅0−c⋅1⋅(−1)−b⋅(−1)⋅1−(a+1)⋅0⋅0=a+1+b+c=a+b+c+1D = \begin{vmatrix} a+1 & b & c \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (a+1)\cdot1\cdot1 + b\cdot0\cdot(-1) + c\cdot(-1)\cdot0 - c\cdot1\cdot(-1) - b\cdot(-1)\cdot1 - (a+1)\cdot0\cdot0 = a+1 + b + c = a+b+c+1.
32 puncte
Sistemul liniar omogen are soluții nenule dacă și numai dacă D=0D=0, adică a+b+c+1=0a+b+c+1=0.
41 punct
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, avem a+b+c+1=1+2+3+1=7≠0a+b+c+1=1+2+3+1=7 \neq 0, deci sistemul are doar soluția banală x=y=z=0x=y=z=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.