MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=12x+y+3z=2x+2y+kz=3\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ x + 2y + kz = 3 \end{cases}, unde kk este un parametru real. Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți determinantul sistemului Δ=∣11121312k∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & k \end{vmatrix} și calculați-l: Δ=1⋅(1⋅k−3⋅2)−1⋅(2⋅k−3⋅1)+1⋅(2⋅2−1⋅1)=k−6−2k+3+4−1=−k\Delta = 1 \cdot (1 \cdot k - 3 \cdot 2) - 1 \cdot (2 \cdot k - 3 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = k - 6 - 2k + 3 + 4 - 1 = -k. Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, deci pentru k≠0k \neq 0.
23 puncte
Pentru k=2k=2, Δ=−2\Delta = -2. Calculați determinanții Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z: Δx=∣111213322∣=2\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2, Δy=∣111223132∣=−2\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = -2, Δz=∣111212123∣=−2\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -2.
33 puncte
Soluția sistemului este x=ΔxΔ=2−2=−1x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{2}{-2} = -1, y=ΔyΔ=−2−2=1y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-2}{-2} = 1, z=ΔzΔ=−2−2=1z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-2}{-2} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.