MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăIdentități algebrice
Demonstrați că aria triunghiului cu vârfurile P1(x1,y1)P_1(x_1, y_1), P2(x2,y2)P_2(x_2, y_2), P3(x3,y3)P_3(x_3, y_3) este 12∣det⁡(x1y11x2y21x3y31)∣\frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|. Aplicați această formulă pentru a calcula aria triunghiului ABCABC cu A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5), C(7,8)C(7,8) și discutați dacă punctele sunt coliniare. În plus, calculați și factorizați determinantul matricei Vandermonde V=(111abca2b2c2)V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrație: Aria triunghiului este dată de 12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|. Dezvoltând determinantul det⁡(x1y11x2y21x3y31)\det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} pe prima linie, obținem x1(y2−y3)−y1(x2−x3)+1(x2y3−x3y2)x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + 1(x_2 y_3 - x_3 y_2), care este egal cu x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) după rearanjare, deci aria = 12∣det⁡(M)∣\frac{1}{2} |\det(M)|.
23 puncte
Pentru punctele date, calculăm det⁡(121451781)=1(5−8)−2(4−7)+1(32−35)=−3+6−3=0\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & 1 \end{pmatrix} = 1(5-8) - 2(4-7) + 1(32-35) = -3 + 6 - 3 = 0. Valoarea absolută este 0, deci aria este 0, ceea ce indică că punctele sunt coliniare.
34 puncte
Calculăm det⁡(V)=∣111abca2b2c2∣\det(V) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}. Scădem prima linie din celelalte: ∣111a−1b−1c−1a2−1b2−1c2−1∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a-1 & b-1 & c-1 \\ a^2-1 & b^2-1 & c^2-1 \end{vmatrix}, apoi factorizăm: =(b−a)(c−a)(c−b)= (b-a)(c-a)(c-b) folosind proprietățile Vandermonde sau dezvoltând direct: det⁡(V)=(b−a)(c−a)(c−b)\det(V) = (b-a)(c-a)(c-b).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.