MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăPolinoame
Fie matricea M=(1xx21yy21zz2)M = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix}. Calculați det⁡(M)\det(M) și arătați că det⁡(M)=(x−y)(y−z)(z−x)\det(M) = (x-y)(y-z)(z-x). Utilizați acest fapt pentru a demonstra că punctele (a,a2)(a, a^2), (b,b2)(b, b^2), (c,c2)(c, c^2) sunt coliniare dacă și numai dacă a=ba=b sau b=cb=c sau c=ac=a.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scădeți prima linie din a doua și a treia linie pentru a obține det⁡(M)=det⁡(1xx20y−xy2−x20z−xz2−x2)\det(M) = \det \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2-x^2 \\ 0 & z-x & z^2-x^2 \end{pmatrix} și dezvoltați după prima coloană;
23 puncte
Factorizați y−xy-x și z−xz-x pentru a arăta că det⁡(M)=(y−x)(z−x)det⁡(1y+x1z+x)\det(M) = (y-x)(z-x) \det \begin{pmatrix} 1 & y+x \\ 1 & z+x \end{pmatrix}, obținând det⁡(M)=(x−y)(y−z)(z−x)\det(M) = (x-y)(y-z)(z-x);
33 puncte
Punctele sunt coliniare dacă și numai dacă aria triunghiului este zero, adică det⁡(1aa21bb21cc2)=0\det \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} = 0, deci (a−b)(b−c)(c−a)=0(a-b)(b-c)(c-a)=0, ceea ce implică a=ba=b sau b=cb=c sau c=ac=a.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.