MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiLogaritmiProgresii Geometrice
Se consideră matricea A=(alog⁡bc1blog⁡ca1clog⁡ab1)A = \begin{pmatrix} a & \log_b c & 1 \\ b & \log_c a & 1 \\ c & \log_a b & 1 \end{pmatrix}, unde a,b,c>0a, b, c > 0 și a,b,c≠1a, b, c \neq 1. Demonstrați că det⁡(A)=0\det(A) = 0 dacă și numai dacă a,b,ca, b, c sunt în progresie geometrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimați logaritmii folosind schimbarea bazei, de exemplu log⁡xy=ln⁡yln⁡x\log_x y = \frac{\ln y}{\ln x}.
24 puncte
Calculați det⁡(A)\det(A) prin dezvoltare după prima coloană: det⁡(A)=a∣log⁡ca1log⁡ab1∣−b∣log⁡bc1log⁡ab1∣+c∣log⁡bc1log⁡ca1∣\det(A) = a \begin{vmatrix} \log_c a & 1 \\ \log_a b & 1 \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} \log_b c & 1 \\ \log_a b & 1 \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} \log_b c & 1 \\ \log_c a & 1 \end{vmatrix} și simplificați folosind proprietățile logaritmilor.
33 puncte
Obțineți det⁡(A)=ln⁡aln⁡bln⁡cln⁡aln⁡bln⁡c⋅(ln⁡2b−ln⁡aln⁡c)\det(A) = \frac{\ln a \ln b \ln c}{\ln a \ln b \ln c} \cdot (\ln^2 b - \ln a \ln c) și concluzionați că det⁡(A)=0\det(A) = 0 echivalează cu ln⁡2b=ln⁡aln⁡c\ln^2 b = \ln a \ln c, adică b2=acb^2 = ac, deci a,b,ca, b, c sunt în progresie geometrică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.