MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Fie determinantul Δ=∣1xx21yy21zz2∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix}. Demonstrați că Δ=(x−y)(y−z)(z−x)\Delta = (x-y)(y-z)(z-x). Apoi, folosind acest rezultat, determinați toate tripletele de numere reale (x,y,z)(x, y, z) care satisfac simultan condițiile: Δ=2\Delta = 2 și x+y+z=0x+y+z=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează Δ\Delta prin scăderea primei linii din celelalte: Δ=∣1xx20y−xy2−x20z−xz2−x2∣=(y−x)(z2−x2)−(z−x)(y2−x2)=(x−y)(y−z)(z−x)\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2-x^2 \\ 0 & z-x & z^2-x^2 \end{vmatrix} = (y-x)(z^2-x^2) - (z-x)(y^2-x^2) = (x-y)(y-z)(z-x).
23 puncte
Din condiția Δ=2\Delta = 2, se obține (x−y)(y−z)(z−x)=2(x-y)(y-z)(z-x) = 2.
33 puncte
Utilizând x+y+z=0x+y+z=0, se exprimă de exemplu z=−x−yz = -x-y. Substituind în ecuația anterioară, se obține (x−y)(y+x+y)(−x−y−x)=(x−y)(2y+x)(−2x−y)=2(x-y)(y+x+y)(-x-y-x) = (x-y)(2y+x)(-2x-y) = 2. Pentru a găsi soluții, se pot considera cazuri particulare, cum ar fi x=0x=0, atunci y+z=0y+z=0 și ecuația devine (−y)(y)(−y)=y3=2(-y)(y)(-y) = y^3 = 2, deci y=23y=\sqrt[3]{2}, z=−23z=-\sqrt[3]{2}. Astfel, un triplet este (0,23,−23)(0, \sqrt[3]{2}, -\sqrt[3]{2}). Alte triplete se pot obține prin permutări sau alegând alte valori inițiale, demonstrând existența mai multor soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.