MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie determinantul D(a)=∣a231a423a∣D(a) = \begin{vmatrix} a & 2 & 3 \\ 1 & a & 4 \\ 2 & 3 & a \end{vmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Calculați D(a)D(a) și determinați toate valorile reale ale lui aa pentru care D(a)=0D(a) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează determinantul D(a)D(a) dezvoltând după prima linie: D(a)=a∣a43a∣−2∣142a∣+3∣1a23∣=a(a2−12)−2(a−8)+3(3−2a)=a3−12a−2a+16+9−6a=a3−20a+25D(a) = a \begin{vmatrix} a & 4 \\ 3 & a \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & a \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = a(a^2 - 12) - 2(a - 8) + 3(3 - 2a) = a^3 - 12a - 2a + 16 + 9 - 6a = a^3 - 20a + 25.
24 puncte
Se rezolvă ecuația D(a)=0D(a)=0, adică a3−20a+25=0a^3 - 20a + 25 = 0. Se observă că a=−5a=-5 este rădăcină: (−5)3−20(−5)+25=−125+100+25=0(-5)^3 - 20(-5) + 25 = -125 + 100 + 25 = 0. Se împarte polinomul la (a+5)(a+5) și se obține a2−5a+5=0a^2 - 5a + 5 = 0, cu soluțiile a=5±52a = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}.
32 puncte
Soluțiile reale sunt a=−5a = -5, a=5−52a = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}, și a=5+52a = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.