MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} și matricea C=(zzˉ1zˉ1z1zzˉ)C = \begin{pmatrix} z & \bar{z} & 1 \\ \bar{z} & 1 & z \\ 1 & z & \bar{z} \end{pmatrix}, unde zˉ\bar{z} este conjugatul lui zz. Arătați că det⁡(C)\det(C) este un număr real pentru orice z∈Cz \in \mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Se calculează determinantul matricei C: det⁡(C)=z⋅det⁡(1zzzˉ)−zˉ⋅det⁡(zˉz1zˉ)+1⋅det⁡(zˉ11z)\det(C) = z \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & z \\ z & \bar{z} \end{pmatrix} - \bar{z} \cdot \det\begin{pmatrix} \bar{z} & z \\ 1 & \bar{z} \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} \bar{z} & 1 \\ 1 & z \end{pmatrix}. După calcul, se obține det⁡(C)=z(zˉ−z2)−zˉ(zˉ2−z)+(zˉz−1)=zzˉ−z3−zˉ3+zzˉ+zˉz−1=3∣z∣2−z3−zˉ3−1\det(C) = z(\bar{z} - z^2) - \bar{z}(\bar{z}^2 - z) + (\bar{z}z - 1) = z\bar{z} - z^3 - \bar{z}^3 + z\bar{z} + \bar{z}z - 1 = 3|z|^2 - z^3 - \bar{z}^3 - 1.
25 puncte
Se arată că det⁡(C)\det(C) este real. Deoarece ∣z∣2=zzˉ|z|^2 = z\bar{z} este real, și z3+zˉ3=2Re(z3)z^3 + \bar{z}^3 = 2\text{Re}(z^3) este real, rezultă că det⁡(C)=3∣z∣2−(z3+zˉ3)−1\det(C) = 3|z|^2 - (z^3 + \bar{z}^3) - 1 este un număr real.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.