MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie determinantul D(a)=∣a111a111a∣D(a) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Calculați D(a)D(a). b) Determinați valorile lui aa pentru care sistemul {ax+y+z=0x+ay+z=0x+y+az=0\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases} are soluții nenule.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se calculează determinantul D(a)D(a) folosind dezvoltarea după prima linie: D(a)=a∣a11a∣−1∣111a∣+1∣1a11∣=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a3−a−a+1+1−a=a3−3a+2D(a) = a \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2.
26 puncte
Sistemul omogen are soluții nenule dacă și numai dacă determinantul matricei coeficienților este zero, adică D(a)=0D(a)=0. Se rezolvă ecuația a3−3a+2=0a^3 - 3a + 2 = 0. Se observă că a=1a=1 este rădăcină: 13−3⋅1+2=01^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0. Prin împărțire polinomială sau factorizare, se obține a3−3a+2=(a−1)2(a+2)=0a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2)=0. Deci valorile lui aa sunt a=1a=1 (dublă) și a=−2a=-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.