MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră determinantul D=∣xy1211131∣D = \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}. a) Calculați DD în funcție de xx și yy. b) Determinați punctele (x,y)(x,y) pentru care D=0D=0 și interpretați geometric. c) Dacă xx și yy sunt legate prin relația x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, găsiți valorile lui xx și yy pentru care D=0D=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului: D=x∣1131∣−y∣2111∣+1∣2113∣=x(1⋅1−1⋅3)−y(2⋅1−1⋅1)+1(2⋅3−1⋅1)=x(1−3)−y(2−1)+(6−1)=−2x−y+5D = x \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = x(1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - y(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 1(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = x(1-3) - y(2-1) + (6-1) = -2x - y + 5.
23 puncte
Pentru D=0D=0, avem −2x−y+5=0-2x - y + 5 = 0, adică y=−2x+5y = -2x + 5. Aceasta este ecuația unei drepte în plan. Punctele (x,y)(x,y) care satisfac D=0D=0 sunt exact punctele de pe această dreaptă.
34 puncte
Cu condiția x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, substituim y=−2x+5y = -2x + 5 în ecuația cercului: x2+(−2x+5)2=1x^2 + (-2x + 5)^2 = 1. Rezolvăm: x2+4x2−20x+25=1⇒5x2−20x+24=0x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 1 \Rightarrow 5x^2 - 20x + 24 = 0. Discriminantul este Δ=400−4⋅5⋅24=400−480=−80<0\Delta = 400 - 4 \cdot 5 \cdot 24 = 400 - 480 = -80 < 0, deci nu există soluții reale. Astfel, nu există puncte (x,y)(x,y) pe cercul unitate care să satisfacă D=0D=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.