MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Fie matricea A=(1aa21bb21cc2)A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale. Calculați determinantul det⁡(A)\det(A) și arătați că det⁡(A)=(b−a)(c−a)(c−b)\det(A) = (b-a)(c-a)(c-b). Dacă a,b,ca, b, c sunt rădăcinile ecuației x3−3x+m=0x^3 - 3x + m = 0, determinați valorile lui mm pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem determinantul și aplicăm operații elementare: scădem prima linie din a doua și a treia linie, obținând det⁡(A)=∣1aa20b−ab2−a20c−ac2−a2∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix}.
23 puncte
Factorizăm b−ab-a și c−ac-a din linii și coloane, apoi calculăm det⁡(A)=(b−a)(c−a)∣1b+a1c+a∣=(b−a)(c−a)(c−b)\det(A) = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & b+a \\ 1 & c+a \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b).
34 puncte
Folosim relațiile Viète pentru ecuația x3−3x+m=0x^3 - 3x + m = 0: a+b+c=0a+b+c=0, ab+ac+bc=−3ab+ac+bc=-3, abc=−mabc=-m. Condiția det⁡(A)=0\det(A)=0 implică (b−a)(c−a)(c−b)=0(b-a)(c-a)(c-b)=0, deci cel puțin două rădăcini sunt egale. Datorită simetriei, considerăm a=ba=b. Atunci din a+b+c=0a+b+c=0, avem 2a+c=02a+c=0, deci c=−2ac=-2a. Înlocuind în ab+ac+bc=−3ab+ac+bc=-3, obținem a2+a(−2a)+a(−2a)=−3a2=−3a^2 + a(-2a) + a(-2a) = -3a^2 = -3, deci a2=1a^2=1, a=±1a=\pm1. Pentru a=1a=1, b=1b=1, c=−2c=-2, atunci m=−abc=−1⋅1⋅(−2)=2m = -abc = -1\cdot1\cdot(-2)=2. Pentru a=−1a=-1, b=−1b=-1, c=2c=2, atunci m=−(−1)⋅(−1)⋅2=−2m = -(-1)\cdot(-1)\cdot2 = -2. Deci m=2m=2 sau m=−2m=-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.