MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie determinantul D(a)=∣1aa2a1aa2a1∣D(a) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ a & 1 & a \\ a^2 & a & 1 \end{vmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Calculați D(a)D(a). b) Determinați valorile reale ale lui aa pentru care D(a)=0D(a) = 0. c) Rezolvați sistemul de ecuații liniare {x+ay+a2z=1ax+y+az=0a2x+ay+z=−1\begin{cases} x + ay + a^2 z = 1 \\ ax + y + az = 0 \\ a^2 x + ay + z = -1 \end{cases} pentru a=2a = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului D(a)D(a) folosind regula lui Sarrus sau proprietăți: D(a)=1⋅∣1aa1∣−a⋅∣aaa21∣+a2⋅∣a1a2a∣=(1−a2)−a(a−a3)+a2(a2−a2)=1−a2−a2+a4=a4−2a2+1=(a2−1)2D(a) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} a & a \\ a^2 & 1 \end{vmatrix} + a^2 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a^2 & a \end{vmatrix} = (1 - a^2) - a(a - a^3) + a^2(a^2 - a^2) = 1 - a^2 - a^2 + a^4 = a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2.
23 puncte
Rezolvarea ecuației D(a)=0D(a) = 0: (a2−1)2=0⇒a2−1=0⇒a=±1(a^2 - 1)^2 = 0 \Rightarrow a^2 - 1 = 0 \Rightarrow a = \pm 1. Deci, D(a)=0D(a) = 0 pentru a=1a = 1 sau a=−1a = -1.
34 puncte
Pentru a=2a = 2, sistemul devine {x+2y+4z=12x+y+2z=04x+2y+z=−1\begin{cases} x + 2y + 4z = 1 \\ 2x + y + 2z = 0 \\ 4x + 2y + z = -1 \end{cases}. Calculăm determinantul coeficienților: Δ=∣124212421∣=1⋅(1⋅1−2⋅2)−2⋅(2⋅1−2⋅4)+4⋅(2⋅2−1⋅4)=1⋅(1−4)−2⋅(2−8)+4⋅(4−4)=−3−2⋅(−6)+0=−3+12=9≠0\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 2 \cdot (2 \cdot 1 - 2 \cdot 4) + 4 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 4) = 1 \cdot (1 - 4) - 2 \cdot (2 - 8) + 4 \cdot (4 - 4) = -3 - 2 \cdot (-6) + 0 = -3 + 12 = 9 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Folosind regula lui Cramer, calculăm Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z și obținem x=ΔxΔ,y=ΔyΔ,z=ΔzΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z = \frac{\Delta_z}{\Delta}. Δx=∣124012−121∣=1⋅(1⋅1−2⋅2)−2⋅(0⋅1−2⋅(−1))+4⋅(0⋅2−1⋅(−1))=1⋅(1−4)−2⋅(0+2)+4⋅(0+1)=−3−4+4=−3\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 2 \cdot (0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) + 4 \cdot (0 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = 1 \cdot (1 - 4) - 2 \cdot (0 + 2) + 4 \cdot (0 + 1) = -3 - 4 + 4 = -3. Δy=∣1142024−11∣=1⋅(0⋅1−2⋅(−1))−1⋅(2⋅1−2⋅4)+4⋅(2⋅(−1)−0⋅4)=1⋅(0+2)−1⋅(2−8)+4⋅(−2−0)=2−1⋅(−6)−8=2+6−8=0\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) - 1 \cdot (2 \cdot 1 - 2 \cdot 4) + 4 \cdot (2 \cdot (-1) - 0 \cdot 4) = 1 \cdot (0 + 2) - 1 \cdot (2 - 8) + 4 \cdot (-2 - 0) = 2 - 1 \cdot (-6) - 8 = 2 + 6 - 8 = 0. Δz=∣12121042−1∣=1⋅(1⋅(−1)−0⋅2)−2⋅(2⋅(−1)−0⋅4)+1⋅(2⋅2−1⋅4)=1⋅(−1−0)−2⋅(−2−0)+1⋅(4−4)=−1+4+0=3\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 2) - 2 \cdot (2 \cdot (-1) - 0 \cdot 4) + 1 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 4) = 1 \cdot (-1 - 0) - 2 \cdot (-2 - 0) + 1 \cdot (4 - 4) = -1 + 4 + 0 = 3. Atunci, x=−39=−13x = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}, y=09=0y = \frac{0}{9} = 0, z=39=13z = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.