MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un fermier dorește să împrejmuiească un teren dreptunghiular cu o suprafață de 200 m2200 \text{ m}^2. Una dintre laturi se află de-a lungul unui râu, deci nu este nevoie de gard pe acea latură. Gardul va fi folosit pentru celelalte trei laturi. Determinați dimensiunile terenului astfel încât lungimea totală a gardului să fie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Se notează cu xx lungimea laturii perpendiculară pe râu și cu yy lungimea laturii paralele cu râul. Suprafața este xy=200xy = 200. Lungimea gardului este L=2x+yL = 2x + y.
22 puncte
Din xy=200xy = 200, se exprimă y=200xy = \frac{200}{x}, deci L(x)=2x+200xL(x) = 2x + \frac{200}{x}, cu x>0x > 0.
32 puncte
Se calculează derivata: L′(x)=2−200x2L'(x) = 2 - \frac{200}{x^2}.
42 puncte
Se rezolvă ecuația L′(x)=0L'(x) = 0: 2−200x2=0⇒x2=100⇒x=102 - \frac{200}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10 (deoarece x>0x > 0).
51 punct
Se verifică că x=10x = 10 este punct de minim: L′′(x)=400x3>0L''(x) = \frac{400}{x^3} > 0 pentru x>0x > 0, deci funcția este convexă și punctul critic este minim.
61 punct
Se determină y=20010=20y = \frac{200}{10} = 20.
71 punct
Concluzie: Dimensiunile terenului sunt x=10 mx = 10 \text{ m} și y=20 my = 20 \text{ m}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.