MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O firmă produce un bun. Funcția cost total este C(x)=0.1x3−2x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100, unde xx este cantitatea produsă în unități. Prețul de vânzare pe unitate este dat de funcția p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul firmei și calculați profitul maxim. Verificați dacă punctul găsit este de maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea funcției profit. Profitul P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2. Atunci P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+30x+100)=−0.1x3+1.5x2+20x−100P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 20x - 100.
23 puncte
Găsirea punctelor critice. Derivata P′(x)=−0.3x2+3x+20P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 20. Se rezolvă ecuația P′(x)=0⇒−0.3x2+3x+20=0⇒3x2−30x−200=0⇒x2−10x−2003=0P'(x) = 0 \Rightarrow -0.3x^2 + 3x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 30x - 200 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x - \frac{200}{3} = 0. Discriminantul Δ=100+8003=11003\Delta = 100 + \frac{800}{3} = \frac{1100}{3}, deci x=10±110032=10±103332=5±5333x = \frac{10 \pm \sqrt{\frac{1100}{3}}}{2} = \frac{10 \pm \frac{10\sqrt{33}}{3}}{2} = 5 \pm \frac{5\sqrt{33}}{3}. Se ia soluția pozitivă x0=5+5333x_0 = 5 + \frac{5\sqrt{33}}{3} (aproximativ x0≈14.56x_0 \approx 14.56, dar se va lucra cu forma exactă).
33 puncte
Verificarea naturii punctului critic. Se calculează derivata a doua: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x0x_0, P′′(x0)=−0.6(5+5333)+3=−3−33+3=−33<0P''(x_0) = -0.6(5 + \frac{5\sqrt{33}}{3}) + 3 = -3 - \sqrt{33} + 3 = -\sqrt{33} < 0, deci x0x_0 este punct de maxim.
41 punct
Calculul profitului maxim. Se înlocuiește x0x_0 în P(x)P(x): P(x0)=−0.1(5+5333)3+1.5(5+5333)2+20(5+5333)−100P(x_0) = -0.1(5 + \frac{5\sqrt{33}}{3})^3 + 1.5(5 + \frac{5\sqrt{33}}{3})^2 + 20(5 + \frac{5\sqrt{33}}{3}) - 100. Se poate lăsa sub formă algebrică sau se poate aproxima numeric la Pmax≈145.8P_{\text{max}} \approx 145.8 unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.