MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcția profitului P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)R(x) = x \cdot p(x) este venitul total.
23 puncte
Calculați R(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2 și exprimați P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+15x+10)=−0.1x3+1.5x2+35x−10P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 35x - 10.
33 puncte
Găsiți derivata P′(x)=−0.3x2+3x+35P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 35. Rezolvați P′(x)=0P'(x) = 0 pentru punctele critice: −0.3x2+3x+35=0-0.3x^2 + 3x + 35 = 0. Multiplicați cu 10: −3x2+30x+350=0-3x^2 + 30x + 350 = 0 sau 3x2−30x−350=03x^2 - 30x - 350 = 0. Discriminantul: Δ=900+4200=5100\Delta = 900 + 4200 = 5100, deci x=30±51006x = \frac{30 \pm \sqrt{5100}}{6}. Având în vedere x≥0x \geq 0, se consideră rădăcina pozitivă, de exemplu x=30+10516=5+5513x = \frac{30 + 10\sqrt{51}}{6} = 5 + \frac{5\sqrt{51}}{3} (sau aproximativ 16.9).
42 puncte
Verificați că punctul critic este de maxim folosind a doua derivată: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru xx găsit, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci este maxim. Calculați P(x)P(x) la acest xx pentru profitul maxim, de exemplu Pmax≈296.15P_{\text{max}} \approx 296.15 mii lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#2Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#3Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Ușor#4Matematică aplicatăAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un observator se află pe o linie orizontală și vede vârful unui turn sub un unghi de elevație de 60∘60^\circ. Mergând 30 de metri îndepărtându-se de turn, unghiul de elevație devine 30∘30^\circ. Care este înălțimea turnului? (Se consideră că observatorul și baza turnului sunt pe aceeași linie orizontală.)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.